Научная деятельность

Классическая статистика занималась, в основном, анализом случайных структур, зависящих от сравнительно небольшого числа параметров. Эти ограничения были связаны с малым объемом статистических данных, вычислительными трудностями и т.п.

Быстрый прогресс компьютерных и информационных технологий резко изменил ситуацию. Во-первых, в различных прикладных задачах (биометрика, эконометрика, медицина)  стали доступны огромные базы данных. Во-вторых, были разработаны и продолжают разрабатываться новые методы анализа, особенно разреженных данных. Социальные, демографические и экономические  процессы столь сложны, что мы, в принципе, не в состоянии собрать о них  полную информацию, она, по необходимости, фрагментарна. Кроме того, параметризация таких процессов или невозможна в принципе, или практически не реализуема.

Все теоретические модели в финансовой математике и экономике основаны на стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ): разные варианты модели Блэка-Шоулза, уравнения типа Крамера-Лундберга в страховании и прочее.

Численное решение таких уравнений по необходимости содержит дискретизацию типа Эйлера, Мильштейна и т.п. Вопросы о том, в каком смысле такая дискретизация хороша, воспроизводит ли она адекватно асимптотические свойство исследуемых СДУ, как оценить ошибки, связанные с дискретизацией и пр. – приобретают фундаментальные значения.

В случае невырожденных эллиптических и параболических задач подобные вопросы освещены в литературе. Однако многие механические, физические и финансовые модели содержат существенную детерминистическую компоненту, и соответствующие диффузионные процессы (СДУ) – вырождены. Здесь приходит на помощь теория гипоэллиптичности, предложенная Хермандером (и в вероятностном виде развитая Маллявэном). Проблема дискретизации гипоэллиптических уравнений является важной и, в существенном, открытой.

Научные исследования лаборатории проводятся по следующим направлениям:

• Статистический анализ сложных структур в случае разреженных данных: алгоритмы, оценка ошибок и пр.- Анализ прикладных непараметрических задач в эконометрике, биометрике, демографии.
• Асимптотический анализ и статистические алгоритмы для смешанных распределений с приложениями к временным рядам (цены акций,  опционы и пр.)
• Построения стационарных в пространстве и времени моделей популяционной динамики и демографии. Анализ их устойчивости по отношению к случайным возмущениям.
• Аппроксимация невырожденных диффузионных процессов цепями Маркова. Локальные теоремы и оценки погрешностей, основанные на различных модификациях метода параметрикса.
• Броуновское движение на римановых многообразиях и их аппроксимации с помощью «мастер-процесса».
• Особые свойства броуновских движений на разрешимых и нильпотентных группах Ли и их дискретные аппроксимации.
• Приложения к анализу Европейских и Азиатских опционов.
• Анализ вырожденных диффузионных процессов и их аппроксимаций случайными  блужданиями. Локальные и квазилокальные предельные теоремы.