Научная деятельность

Классическая статистика занималась, в основном, анализом случайных структур, зависящих от сравнительно небольшого числа параметров. Эти ограничения были связаны с малым объемом статистических данных, вычислительными трудностями и т.п.

Быстрый прогресс компьютерных и информационных технологий резко изменил ситуацию. Во-первых, в различных прикладных задачах (биометрика, эконометрика, медицина)  стали доступны огромные базы данных. Во-вторых, были разработаны и продолжают разрабатываться новые методы анализа, особенно разреженных данных. Социальные, демографические и экономические  процессы столь сложны, что мы, в принципе, не в состоянии собрать о них  полную информацию, она, по необходимости, фрагментарна. Кроме того, параметризация таких процессов или невозможна в принципе, или практически не реализуема.

Все теоретические модели в финансовой математике и экономике основаны на стохастических дифференциальных уравнениях (СДУ): разные варианты модели Блэка-Шоулза, уравнения типа Крамера-Лундберга в страховании и прочее.

Численное решение таких уравнений по необходимости содержит дискретизацию типа Эйлера, Мильштейна и т.п. Вопросы о том, в каком смысле такая дискретизация хороша, воспроизводит ли она адекватно асимптотические свойство исследуемых СДУ, как оценить ошибки, связанные с дискретизацией и пр. – приобретают фундаментальные значения.

В случае невырожденных эллиптических и параболических задач подобные вопросы освещены в литературе. Однако многие механические, физические и финансовые модели содержат существенную детерминистическую компоненту, и соответствующие диффузионные процессы (СДУ) – вырождены. Здесь приходит на помощь теория гипоэллиптичности, предложенная Хермандером (и в вероятностном виде развитая Маллявэном). Проблема дискретизации гипоэллиптических уравнений является важной и, в существенном, открытой.

Научные исследования лаборатории проводятся по следующим направлениям стохастики:

·        Статистический анализ сложных структур: алгоритмы, скорости сходимости, оценка ошибок и пр.

     ·        Моделирование скачкообразных процессов и применение к финансовым временным рядам (цены акций, индексы цен и т.д.).

     ·        Решение прикладных непараметрических задач в эконометрике, медицине, демографии.

     ·        Уравнения МакКина-Власова, анализ решений и предельные теоремы.

     ·        Аппроксимация невырожденных диффузионных процессов цепями Маркова. Локальные теоремы и оценки погрешностей, основанные
        на различных модификациях метода параметрикса.

     ·        Анализ вырожденных диффузионных процессов и их аппроксимаций случайными  блужданиями, локальные и квазилокальные
        предельные теоремы.

     ·        Теория игр среднего поля, методы анализа игровых задач управления.

     ·        Дробные стохастические дифференциальные уравнения и дробные производные.

     ·        Аналитическое моделирование аномальных диффузий.