Публикации
Это перевод статьи из АиТ в англоязычном варианте. Данный журнал издается Шпрингером и не является точным эквивалентом АиТ.
Для марковских решений сильно вырожденных стохастичеких дифференциальных уравнений установлены существование, слабая единственность и условие Маркова - Добрушина.
Оценка вероятности невозврата (probability of default, PD) кредита лежит в основе регулирования кредитного риска в рамках подхода на основе внутренних рейтингов соглашений Базель II-III. При разработке моделей PD регулятор требует, чтобы они обладали достаточной точностью, что можно проверить биномиальным тестом. Но он предполагает независимость случайных величин. (Blochwitz, Martin, & Wehn, 2006) делают попытку скорректировать тест для коррелированных исходов через расширение доверительного интервала (ДИ), что неверно, как будет показано в докладе.
В литературе существуют три хорошо известных CUSUM-метода обнаружения струк- турных сдвигов в стандартных GARCH-моделях. Несмотря на то, что эти алгорит- мы первоначально были разработаны применительно к стандартным GARCH-моде- лям, имеются теоретические основания считать, что перечисленные CUSUM-методы применимы к обнаружению структурных сдвигов в EGARCH-моделях. Более того, в некоторых работах можно встретить использование этих алгоритмов по отношению к EGARCH-моделям при обнаружении структурных сдвигов волатильности реальных временн´ых рядов. При этом не удалось найти исследований, в которых проводились бы контролируемые численные эксперименты, позволивших бы прояснить качество обнару- жения структурных сдвигов с помощью данных CUSUM-методов в EGARCH-моделях. Предлагаемая статья посвящена данному вопросу. В ней имитировалась приближен- ная к реальности ситуация возникновения структурных сдвигов в EGARCH-моделях. В рамках данного контролируемого эксперимента на основе симуляций было установле- но, что рассмотренные методы обладают достаточно слабыми способностями к обнару- жению структурных сдвигов на выборках умеренного объема. Выявленные недостатки указывают на ограниченную практическую применимость таких методов. Также пред- ложен гибридный алгоритм, который хотя окончательно и не преодолевает слабые места CUSUM-методов, но в некоторой степени способен повысить детективные способности обнаружения структурных сдвигов во всех параметрах EGARCH-модели. Для проведе- ния расчетов была использована вычислительная среда MATLAB.
Изучаются улучшенные оценки скорости сходимости для эргодических однородных цепей Маркова. Даны примеры сравнения с классическими оценками.
С помощью преобразования Гирсанова установлены существование, единственность по распределению и свойство локального перемешивания слабых решений сильно вырожденных стохастических дифференциальных уравнений.
В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к самостоятельному решению задач: слишком простые задачи решать скучно; слишком сложные демотивируют средних и слабых студентов, а у сильных студентов зачастую отнимают неоправданно большое количество времени, которым в реальном учебном процессе они не обладают.
Большинство задач приведено с подробными решениями. Как правило, вслед за разобранной задачей приводится набор аналогичных задач для самостоятельного решения, способствующих закреплению материала.
Задачник охватывает все основные разделы курса «Теория вероятностей и математическая статистика», который читается в настоящее время в НИУ ВШЭ: основные сведения о дискретных случайных величинах; основные дискретные распределения: распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение; условная вероятность, формула умножения вероятностей, формула полной вероятности, формула Байеса; абсолютно непрерывные случайные величины; основные абсолютно непрерывные распределения: равномерное распределение, нормальное распределение, показательное (экспоненциальное) распределение; центральная предельная теорема, неравенство Берри---Эссеена; абсолютно непрерывные случайные векторы; основные способы получения точечных оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия; основные характеристики оценок: несмещенность, эффективность и состоятельность; доверительные интервалы; тестирование параметрических гипотез (при помощи леммы Неймана---Пирсона); хи-квадрат критерий Пирсона; тестирование параметрических гипотез (при помощи метода максимального правдоподобия): тест отношения правдоподобия, тест Вальда, тест множителей Лагранжа.
В дополнениях 1 и 2 пособия рассматриваются задачи (с решениями), относящиеся к более сложным темам: свойства вероятностной меры; сходимость по вероятности и по распределению.
В первую очередь пособие предназначено для студентов экономических специальностей и преподавателей, ведущих практические занятия по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Однако оно также может быть использовано для проведения практических занятий по аналогичному курсу в технических вузах.
This is an advanced text on ordinary differential equations (ODES) in Banach and more general locally convex spaces, most notably the ODEs on measures and various function spaces. It yields the concise exposition of the fundamentals with the fast, but rigorous and systematic transition to the up-fronts of modern research in linear and nonlinear partial and pseudo-differential equations, general kinetic equations and fractional evolutions. The level of generality is chosen to be suitable for the study of the most important nonlinear equations of mathematical physics, such as Boltzmann, Smoluchovskii, Vlasov, Landau-Fokker-Planck, Cahn-Hilliard, Hamilton-Jacobi-Bellman, nonlinear Schroedinger, McKean-Vlasov diffusions and their nonlocal extensions, mass-action-law kinetics from chemistry. It also covers nonlinear evolutions arising in evolutionary biology and mean-field games, optimization theory, epidemics and system biology, in general models of interacting particles or agents describing splitting and merging, collisions and breakage, mutations and the preferential-attachment growth on networks. The book is meant for final year undergraduate and postgraduate students and researchers in differential equations and their applications. A significant amount of attention is paid to the interconnections between various topics revealing where and how a particular result is used in other chapters or may be used in other contexts, as well as to the clarification of the links between the languages of pseudo-differential operators, generalized functions, operator theory, abstract linear spaces, fractional calculus and path integrals.
