Публикации

В работе дается эквивалентное определение свойства воспроизводимости условных квантилей многомерных вероятностных распределений с использованием понятия копулы. На основе этого определения устанавливается связь между свойством воспроизводимости условных квантилей и упрощающим предположением в упрощенной конструкции из парных копул (simplified pair-copula construction). Кроме того, показывается, что свойство воспроизводимости условных квантилей сохраняется при переходе к копуле многомерного распределения. 

Для освоения теории вероятностей и математической статистики тре- нировка в решении задач и выработка интуиции важны не меньше, чем изучение доказательств теорем; большое разнообразие задач по этому пред- мету затрудняет студентам переход от лекций к экзаменационным задачам, а от них—к практике. Специфический предмет этого тома, цепи Маркова и их применения, переживает последнее время большой подъем. Многие замечательные тео- ретические результаты были получены в этой области, которая долгое вре- мя рассматривалась многими специалистами как «мертвая» зона. Активную роль в развитии этой области играют именно прикладные исследования. Предмет этой книги критически важен как для современных приложений (финансовая математика, менеджмент, телекоммуникации, обработка сиг- налов, биоинформатика), так и для приложений классических (актуарная математика, социология, инженерия). Авторы собрали большое количество упражнений, снабженных полны- ми решениями. Эти решения адаптированы к нуждам и умениям учащихся. Необходимые теоретические сведения приводятся по ходу изложения; кроме того, текст снабжен историческими отступлениями. Настоящее издание осуществляется в двух выпусках. Часть I в основном ориентирована на студентов и преподавателей. Часть II в основном ориен- тирована на аспирантов и научных работников.

Пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу «Математическая статистика» для студентов экономических специальностей. Оно также может быть использовано при самостоятельном изучении предмета благодаря очень большому количеству подробно решенных задач.

В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно, с тем, чтобы побудить студентов к самостоятельному решению задач: слишком простые задачи решать скучно; слишком сложные — демотивируют средних и слабых студентов, а у сильных студентов зачастую отнимают неоправданно большое количество времени, которым в условиях реального учебного процесса они не обладают.

Пособие охватывает все основные разделы курса «Математическая статистика», который в настоящее время читается в НИУ ВШЭ на факультете экономических наук: основные способы получения точечных оценок — метод моментов, метод максимального правдоподобия; основные характеристики оценок — несмещенность, эффективность и состоятельность; доверительные интервалы; тестирование параметрических гипотез; хи-квадрат критерии Пирсона — на согласованность распределения и на независимость признаков; тестирование параметрических гипотез в контексте метода максимального правдоподобия — тест отношения правдоподобия, тест Вальда, тест множителей Лагранжа.

Рассмотрена улучшенная оценка скорости сходимости однородных нелинейных марковских цепей в дискретном времени. Данный класс процессов нелинеен в терминах закона распределения, т.е. помимо зависимости от текущего состояния процесса переходные ядра также зависят и от вероятностного распределения в этот момент. Чаще всего такие процессы выступают в~качестве предельных для больших систем зависимых цепей Маркова со взаимодействием. Полученная в работе оценка обобщает существующие результаты о сходимости с использованием переходных вероятностей за два шага. В~частности показано, что данный подход не нарушает существования и единственности инвариантной меры при наложении условий, аналогичных использовавшимся при построении оценки за один шаг. На примере нескольких нелинейных марковских цепей показано, что полученная оценка обладает более высокой скоростью сходимости, а также может быть использована в случаях, когда оценка за один шаг неприменима. Помимо этого, приведённые примеры иллюстрируют тот факт, что невыполнение условий сходимости для оценки за один шаг не препятствует сходимости некоторых однородных нелинейных цепей Маркова в дискретном времени.

Пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу «Теория вероятностей» для студентов экономических специальностей. Оно также может быть использовано при самостоятельном изучении предмета благодаря очень большому количеству подробно решенных задач.

В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно, с тем, чтобы побудить студентов к самостоятельному решению задач: слишком простые задачи решать скучно; слишком сложные — демотивируют средних и слабых студентов, а у сильных студентов зачастую отнимают неоправданно большое количество времени, которым в условиях реального учебного процесса они не обладают.

Пособие охватывает все основные разделы курса «Теория вероятностей», который в настоящее время читается в НИУ ВШЭ на факультете экономических наук: основные сведения о дискретных случайных величинах; основные дискретные распределения — распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение; условная вероятность, формула умножения вероятностей, формула полной вероятности, формула Байеса; абсолютно непрерывные случайные величины; основные абсолютно непрерывные распределения — равномерное распределение, нормальное распределение, показательное (экспоненциальное) распределение; центральная предельная теорема, неравенство Берри—Эссеена; абсолютно непрерывные случайные векторы.

В дополнениях 1 и 2 пособия рассматриваются задачи (с решениями), относящиеся к более сложным темам: свойствам вероятностной меры; сходимости по вероятности и по распределению.

Преподавание эконометрики в части практических занятий должно базироваться на трёх китах:

решение задач «вручную», программирование эконометрических процедур, работа с данными на компьютере. Эта книга посвящена третьему «киту».

Пособие подготовлено на основе практических занятий по эконометрике, которые авторы проводили более десяти лет на различных факультетах НИУ ВШЭ. Оно предназначено, в основном, для студентов бакалавриата, обучающихся по экономическим специальностям, а также преподавателей эконометрики. Также данный практикум может быть использован в магистратуре при повторении бакалаврского курса.

Тематический состав большей части практикума вполне традиционен для бакалаврского курса:

• метод наименьших квадратов и линейная регрессия,

• доверительные интервалы,

• проверка статистических гипотез,

• фиктивные переменные и тест Чоу,

• тесты на правильность функциональной формы: тест Рамсея и тест Бокс—Кокса,

• мультиколлинеарность,

• гетероскедастичность,

• автокорреляция,

• модели бинарного выбора: logit- и probit-модели,

• системы одновременных уравнений,

• эндогенность,

• элементы анализа панельных данных.

Основной особенностью данного пособия является использование не только реальных, но и симулированных данных. Это сделано с тем замыслом, что при анализе реальных данных учащиеся сталкиваются сразу с целым комплексом отклонений от теоретических предпосылок, в то время как на симулированных данных в условиях контролируемого эксперимента можно задавать такие отклонения по отдельности. В результате можно почувствовать чистый эффект от каждого из отклонений от теоретических предпосылок. При этом задача обнаружения того или иного отклонения и его устранения становится более простой и обозримой. Помимо задач с симулированными данными в пособие включены задачи с реальными данными, для того чтобы выработать у студентов навыки работы не только в «рафинированных», но и «боевых» условиях.

Книга представляет собой экспресс-курс по теории вероятностей в контексте начального курса эконометрики. В курсе в максимально доступной форме изложен тот минимум, который необходим для осознанного изучения начального курса эконометрики. Данная книга может не только помочь ликвидировать пробелы в знаниях по теории вероятностей, но и позволить в первом приближении выучить предмет «с нуля». При этом, благодаря доступности изложения и небольшому объему книги, все это можно сделать в самые кратчайшие сроки. В данном курсе автор не останавливается на доказательствах теорем, но всегда сопровождает их примерами.

Книга может быть полезна следующим категориям читателей:

• студентам бакалавриата экономических специальностей, которые приступают к изучению начального курса эконометрики, но подзабыли или недостаточно хорошо освоили курс теории вероятностей;

• студентам магистратуры экономических специальностей, которые начинают изучать продвинутый курс эконометрики и хотят в кратчайшие сроки вспомнить основные сведения из теории вероятностей.

Книга будет незаменимой для тех студентов первого курса магистратуры, которые поступили на экономические специальности, но ранее не изучали теорию вероятностей. В последнее время такая ситуация не является редкостью, поскольку достаточно большая часть выпускников бакалавриата меняет профиль при поступлении в магистратуру.

Автор надеется, что книга будет полезна широкому кругу читателей, а забавные авторские иллюстрации сделают работу над книгой не только полезной, но и веселой.

Предлагаемое вниманию пособие представляет собой элементарное введение в функциональный анализ. Оно предназначено для студентов и аспирантов математических специальностей, которые прошли курс математического анализа, но не обладают достаточной подготовкой для чтения классических учебников по функциональному анализу. В отечественной литературе существует значительный разрыв в уровне подробности изложения между стандартными учебниками по математическому анализу и стандартными курсами функционального анализа. Данная книга должна частично заполнить этот разрыв и помочь студентам приобрести необходимую подготовку для изучения более полных руководств по функциональному анализу. В связи с этим автор ограничился изложением функционального анализа в нормированных пространствах, что позволило существенно повысить как подробность изложения материала, так и количество разбираемых примеров и задач. Всего в пособии разобрано порядка 50 примеров и решено около 150 задач, большая часть которых составлена автором специально для данного пособия. Книга содержит большое количество простых примеров и задач, имеющих разъяснительный характер. Пособие подходит для самостоятельного изучения предмета благодаря полноте и подробности изложения теоретического материала и обилию разобранных практических примеров и задач. Пособие рекомендуется студентам, аспирантам математических специальностей и всем интересующимся функциональным анализом.