Мини-курс "Краткое введение в теорию и применения стохастических дифференциальных уравнений " доцента университета Вальпараисо (Чили) Жан-Франсуа Жабира

Цель этого мини-курса состоит в изложении теоретических и практических аспектов, относящихся к случайным процессам, задаваемым стохастическими дифференциальными уравнениями (или, кратко, СДУ). Первая часть курса будет посвящена краткому напоминанию некоторых основных понятий стохастического исчисления (от определения Броуновского движения до интеграла Ито). Во второй части мы изложим общие факты и объясним практическую значимость СДУ, особое внимание будет уделено диффузионным процессам Ито.  Будет дан обзор простейших приложений в физике и финансах.

Третья часть курса будет посвящена общей теории СДУ, включая: понятия сильных и слабых решений; достаточные условия существования и единственности решения; Марковская природа и некоторые характерные свойства решений; формулировка СДУ в терминах проблемы мартингалов; связи между СДУ и уравнениями в частных производных.

Наконец, мы обсудим численные методы аппроксимации решений СДУ, в частности, один класс СДУ, так называемые нелинейные СДУ типа МакКина – Власова, которые нашли недавнее применение в статистической механике и экономическом моделировании.

Программа:

I           Фундаментальные понятия случайных процессов и стохастического  исчисления.

Некоторые основные определения.

Броуновское движение.

Интеграл Ито и формула Ито.

II          Предварительные сведения о СДУ

Общая форма и основные свойства.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и СДУ.

Диффузионные процессы Ито и их связь с марковскими процессами

III         Теория СДУ и приложения

Принцип причинности и понятие сильного решения СДУ.

Построение и единственность, свойства сильного решения.

Понятие слабого решения и связь с сильными решениями.

Примеры из физики, финансов, некоторые применения.

Проблема мартингалов, связанная с СДУ.

Связь между уравнениями в частных производных и СДУ.

Оценки плотности и результаты о сильной единственности для сингулярных СДУ.

IV        СДУ типа МакКина-Власова и их приложения.

Исторические предпосылки и связь с нелинейными уравнениями в частных производных и распространением хаоса.

Некоторые результаты о хорошей обусловленности.

Приложения в физике и недавние приложения в экономике.

 Расписание занятий:
16 декабря -  18:00 - 21:00 ауд. 2220
19 декабря -  18:00 - 21:00 ауд. 4222
21 декабря -  18:00 - 21:00 ауд. 4223

Для преподавателей, сотрудников и студентов НИУ ВШЭ вход свободный. Для гостей не из НИУ ВШЭ предварительная запись по е-mail: ypavlyuk@hse.ru